宁武县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）

A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除

2． 已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（ A．﹣3

B．3

C．

D．±3

）

）

3． 命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是（ A．∀x∈R，x2﹣x+2≥0

B．∃x∈R，x2﹣x+2≥0

C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0　

2x14． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则0的解集为（

fxfx）

1A．1，B．，11，

）

D．1，C．，15． 下列命题的说法错误的是（

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”6． 函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（ A．[1，+∞）

B．（1，+∞）

）C．[0，+∞）

D．（0，+∞）

7． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ A．33%

B．49%

C．62% ）

8． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）D．88%

A．y=|x|（x∈R）B．y=（x≠0）C．y=x（x∈R）D．y=﹣x3（x∈R）

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9． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（

22，

）

A．2：1B．5：2C．1：4D．3：1

10．自圆C：(x3)(y4)4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（

）

A．8x6y210　　B．8x6y210　　C．6x8y210　　D．6x8y210【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

11．已知||=3，||=1，与的夹角为A．2

B．

，那么|﹣4|等于（

C．

）

）D．13

12．已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（ A．∅可．

B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}

二、填空题

13．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=14．如果椭圆

+

，则sin（α+

）=　 　．=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是　　　　　　．　

15．如图，一船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为　　km．

16．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则　

值等于　　　　　　．17．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为　　．18．已知函数f（x）=恰有两个零点，则a的取值范围是　　．第 2 页，共 16 页

三、解答题

19．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

20．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26．（Ⅰ）求数列{an}的通项an；（Ⅱ）令bn=

（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．

21．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0.33，求AOB面积的最大值.2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

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22．已知复数z的共轭复数是，且复数z满足|z﹣1|=1，z≠0，且z在复平面上对应的点在直线y=x上．：求z及z的值．

23．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所

24．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)f(2)3．（1）求f(x)的解析式；

（2）若f(x)在区间2a,a1上不单调，求实数的取值范围；

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（3）在区间1,1上，yf(x)的图象恒在y2x2m1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

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宁武县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．

【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．　

2． 【答案】B

【解析】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，可得解得m=3．故选：B．

【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．　

3． 【答案】B

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是∃x∈R，x2﹣x+2≥0．故选：B．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．　

4． 【答案】B【解析】

2x12x1试题分析：由02x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当

fxfx2fx，（m＞0）

x0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，11，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式.5． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；

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C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确．故选：A．　

6． 【答案】D

【解析】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．

即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．

【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．　

7． 【答案】B【

解

析

】

8． 【答案】D

【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，

y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，故选：D　

9． 【答案】D

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

×4πR2=

．

，∴r=

．

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

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10．【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC，则由PQPO，得，

222(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

11．【答案】C

【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

，

即有|﹣4|==

故选：C．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．　

12．【答案】D

【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选D．

【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，　

=

．

二、填空题

13．【答案】：

．

【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=，∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=

∵α为锐角，sin（α+

=

，

⇒α∈（0，，

），从而cos2α取正值，

）＞0，

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∴sin（α+）===

=

故答案为：

．

．

14．【答案】　x+4y﹣5=0　．

【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，得

，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．　

15．【答案】　　

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为故答案为

．

海里．

=

海里，

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16．【答案】　

【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），所以tanα=﹣2．

=

故答案为：﹣．

【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．　

17．【答案】　

　．

=

=﹣．

　．

【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10．数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴∴b2=3，则故答案为

．

=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），

=，

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．

18．【答案】　（﹣3，0）　．

【解析】解：由题意，a≥0时，

x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上至多一个零点；x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点，∴a≥0，不符合题意；

﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；

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a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，函数y=2x3﹣ax2﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）．故答案为（﹣3，0）．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3；由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2；所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增；所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c

或c＞1．

或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，∵a5+a7=26∴a6=13，

∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1；

，

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（Ⅱ）由（1）可知∴

21．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME．

，

2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y)3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

13x21y21∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即33x2y21 …………4分∴曲线C的方程为3第 12 页，共 16 页

22．【答案】

【解析】解：∵z在复平面上对应的点在直线y=x上且z≠0，∴设z=a+ai，（a≠0），∵|z﹣1|=1，∴|a﹣1+ai|=1，

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即

则2a2﹣2a+1=1，

=1，

即a2﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1，即z=1+i， =1﹣i，则z=（1+i）（1﹣i）=2．

【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B．若n=14，当b=1时，

，

．

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合令

中除整数外，其余的数组成集合为，

，

．

，

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

，

．

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则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．　

24．【答案】（1）f(x)2x4x3；（2）0a2中的数均为无理数，

1；（3）m1.2试

题解析：

（1）由已知，设f(x)a(x1)1，

由f(0)3，得a2，故f(x)2x4x3．

221．222（3）由已知，即2x4x32x2m1，化简得x3x1m0，

（2）要使函数不单调，则2a1a1，则0a设g(x)x3x1m，则只要g(x)min0，而g(x)ming(1)1m，得m1．考点：二次函数图象与性质．

【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：

2fxax2bxca0；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为h,k，则其解析式为

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fxaxhka0；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为x1,x2，则其解析式为

2fxaxx1xx2a0.

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