山西省2019-2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A.

Ax|x2,B{x|x5x20}B.

,则AB（ ）

D. [5,)2,2,2C. (2,2]【答案】C【解析】【分析】

先由二次不等式的解法求B{x|5x2} ,再利用集合交集的运算可得

AIB {x| 2x2 }，得解.

【详解】解:因为Ax|x2,

B{x|x5x20}{x|x5x20}{x|5x2} ,所以AIB {x| 2x2 },故选:C.

【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.2.在空间直角坐标系Oxyz中，若A. 6【答案】A【解析】【分析】

直接利用两点间距离公式计算得到答案.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间坐标系中两点间的距离，意在考查学生的计算能力.

3.某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700,现用分层抽样的方法从这三个年

B. 22A0,1,6，

B1,2,8C. 3

，则|AB|（ ）

D. 10A0,1,6，

B1,2,8222|AB|1126.，则

级中选取18人参加学校的演讲比赛,则应选取的初二年级学生人数为( )A. 5【答案】B【解析】【分析】

直接利用分层抽样中，每个层次被抽取的概率相等求解即可.

【详解】因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等，

B. 6

C. 7

D. 8

600所以，应选取的初二年级学生人数为500600700×18=6，故选B.【点睛】分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

4.若直线ax2ya20与3x(a5)y50平行，则a的值为（ ）A. 2【答案】A【解析】【分析】

根据直线平行得到a(a5)23，排除重合情况，计算得到答案.【详解】因为直线ax2ya20与3x(a5)y50平行所以a(a5)23，解得a2或a3 当a3时，这两条直线重合，排除，故a2.故选：A【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.

5.已知,,是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列判断正确的是（ ）A. 若，，则∥B. 若m，n，则mnC. 若，m，n，则mnB. 1或3

C. 3

D. 2或3

D. 若∥，m，n，则mn【答案】B【解析】【分析】

根据直线和平面的位置关系，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】A. 若，，则∥或,相交，错误；

B. 若m，n，则mn，同时垂直于一个平面的两条直线互相平行，正确；C. 若，m，n，则mn或mn或异面，错误；D. 若∥，m，n，则mn或异面，错误故选：B【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.

m5e12e2，则|m|=e,e6.已知两个单位向量12的夹角为60°,向量

A. 19 【答案】A【解析】【分析】

根据向量的模计算公式

B. 21

C. 25 D. 7

2aa，即可求出。

【详解】因为

e1e211e1e211cos602，，且

2|m|m所以

5e12e221252524192，故选A。

【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义应用以及向量的模的计算公式应用。7.点P(sin,3cos)到直线xy80的距离的最小值为（ ）A. 4【答案】C【解析】

B. 23C. 32D. 52【分析】

2sin83d2利用点到直线的距离公式得到，根据三角函数的有界性得到答案.

【详解】点P(sin,3cos)到直线xy80的距离为：

2sin8|sin3cos8|63d32222.

故选：C【点睛】本题考查了点到直线的距离公式和三角函数的有界性，意在考查学生的计算能力.8.已知）

A. x2y10【答案】A【解析】【分析】先计算

B. x2y10C. x6y10D. x10A(1,0)，

B0,2，

C2,6，则△ABC的BC边上的高线所在的直线方程为（

kBC2，得到高线的斜率，又高线过点A(1,0)，计算得到答案.

kBC622A(1,0)20，高线过点

【详解】

∴BC边上的高线所在的直线方程为故选：Ay1x12，即x2y10.

【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为1是解题的关键.9.光线自点

2,4射入，经倾斜角为135的直线l:ykx1反射后经过点5,0，则反射光

线还经过下列哪个点（ ）A.

14,2B.

14,1C.

13,2D.

13,1【答案】D【解析】

【分析】

ktan1351，计算点2,4关于直线l:yx1的对称点为3,1，计算得先计算

1y(x5)8到直线方程，代入数据计算得到答案.

2,4关于直线l:yx1的对称点为m,n【详解】ktan1351，设点

n41m2m3n4m21n12则2，解得y所以反射光线所在直线方程为

0(1)1(x5)(x5)5(3)8当x13时，y1；当x14时，故选：D.

y98.故过点13,1【点睛】本题考查了直线的对称问题，计算点的关键.

2,4关于直线l:yx1的对称点是解题

2222P,QM:(x6)(y3)4N:(x4)(y2)1上的动点，10.已知分别为圆与圆

A为x轴上的动点，则|AP||AQ|的最小值为（ ）

A. 1013【答案】B【解析】【分析】

'22N:(x4)(y2)1，|AP||AQ|的最小值为xN计算圆关于轴对称的圆为

B. 553C. 753D. 533MN12，计算得到答案.

2222N:(x4)(y2)1N:(x4)(y2)1的x【详解】圆关于轴对称圆为圆

则|AP||AQ|的最小值为故选：BMNrR1025212553.

【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.

11.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为（ ）

35(0，]10A.

[B.

3S,)10(C.

S3S,]510D.

[3SS，)102【答案】D【解析】【分析】

设圆柱的高度与半球的半径分别为h,R，计算容积得到

V3R3S4R„R323，根据高

R2„的关系得到

S25R23，计算得到答案.

2【详解】设圆柱的高度与半球的半径分别为h,R，则S2R2Rh，则

RhSR22，

22S4SVR3R2hR3R2RR3R„R3333232所以酒杯的容积，

3SSSS5„RR20R2„R22.23又h0，所以2，所以，解得10故选：D

【点睛】本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

22xx,0„x„2f(x)x26x8,2x„4ykx112.若直线与函数的图象恰有3个不同的交点，

则k的取值范围为（ ）

13[,)A. 44【答案】C【解析】【分析】

33[,)B. 4413[,)C. 4413,D. 44画出函数图像，直线ykx1过定点到答案.【详解】

0,1，根据直线与圆的上半部和下半部关系计算得

fx2222(x1)y1(x3)y1的上半部分组成的图象由圆的下半部分与圆

直线ykx1过定点

0,1.

22当直线ykx1与圆(x3)y1的上半部分相切时，解得

k34或k0（舍去）

d3k11k21当直线ykx1经过点

4,0时，

k14.

13k[,)44.数形结合可得：

故选：C

【点睛】本题考查了函数图像的交点问题，画出函数图像根据函数图像求解是解题的关键.

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

2lgx,x0f(x)1x,x0413.设函数，则f(f(10))________.

【答案】16【解析】【分析】

直接代入数据得到答案.

2f(f(10))f(2)416【详解】

故答案为16

【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力

14.如图，某几何体由两个同底面的圆锥组合而成，若底面积为9，小圆锥与大圆锥的高分别为4和6，则该几何体的表面积为__________．

【答案】【解析】【分析】

1595根据底面积计算底面半径，再利用表面积公式得到答案.

2【详解】底面积为r9r3

22223(3436)(1595).几何体的表面积为

故答案为：

1595【点睛】本题考查了表面积的计算，意在考查学生的计算能力.

2222M:(x1)(y1)4N:x(ym)25(m0)内切，则15.若圆与圆

m__________．

【答案】221【解析】

【分析】

根据圆内切得到等式12(m1)252，计算得到答案.

【详解】两圆内切，故圆心距等于半径之差的绝对值即12(m1)252，解得m221.又m0，则m221.

故答案为：221【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，根据位置关系得到圆心距和半径之间的关系是解题的关键.

16.如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABAD，AB∥CD，

ADCDPD2，AB1，E为PC的中点，F为线段PB上的动点，则

AFEF2的最小值为__________．

14423【答案】【解析】【分析】

cosAPB根据长度关系得到

22BPC3，4，将PBC翻折至与平面PAB共面，

如图所示，得到当F为AE与PB的交点时，AFEF取得最小值，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】PD平面ABCDPDAB ，ABAD，AB平面PADABAP易知：PA22,PB3，PC22，BC5在RtPAB中，

cosAPBAP22PB3.

cosBPC利用余弦定理得到：

9852BPC2，所以23224.

将PBC翻折至与平面PAB共面，如图所示：

222142cosAPCcosAPB42336则图中，当F为AE与PB的交点时，AFEF取得最小值.

(AFEF)2AE2(22)2(2)22222此时，

42144263.

14423故答案为：【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，将立体问题转化为平面问题是解题的关键，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知直线l经过点

3,2.

（1）若l与直线y2x平行，求l的方程（结果用一般式表示）；

（2）若l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求l的方程（结果用一般式表示）.【答案】（1）2xy80（2）2x3y0或xy10.【解析】【分析】

（1）根据平行得到l的斜率为2，得到点斜式为

y22x3，化简得到答案.

（2）根据直线是否过原点两种情况分别计算得到答案.【详解】（1）因为l与直线y2x平行，所以l的斜率为2，

由点斜式可得，l的方程为

y22x3，即2xy80.

2（2）当直线l过原点时，l的斜率为3，所以l的方程为2x3y0.

xy13,2，得a1，llaa当直线不过原点时，设直线的方程为，代入

所以l的方程为xy10.

综上所述：l的方程为2x3y0或xy10.

【点睛】本题考查了直线方程，讨论直线是否过原点是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

18.已知四棱锥PABCD的直观图如图所示，其中AB，AP，AD两两垂直，

ABADAP2，且底面ABCD为平行四边形.

（1）证明：PABD.

（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥PABCD的体积.

8【答案】（1）证明见解析（2）作图见解析，3【解析】【分析】

（1）根据PAAB，PAAD得到PA平面ABCD，得到证明.（2）直接画出侧视图，利用体积公式直接计算得到答案.

【详解】（1）因为AB,AP,AD两两垂直，所以PAAB，PAAD.因为ABADA，所以PA平面ABCD.因为BD平面ABC，所以PABD.

（2）该四棱锥的侧视图如图所示：

128223.依题意可得四边形ABCD为正方形，四棱锥PABCD的体积为3【点睛】本题考查了三视图的应用，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19.a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知(1)若ABC的面积为43,求b;(2)若cb47,求ABC的周长.【答案】(1) b2. (2) 14337【解析】【分析】

22A6,sin C43sin B.

(1)由已知sin C43sin B，结合正弦定理可得c43b，再结合三角形的面积公式

S1bcsinA2，将已知条件代入运算即可；

22(2)由cb47，结合余弦定理得得解.

a2b2c22bccos A1482433372,

【详解】解:(1)由sinC43sin B,得c43b .

因为△ABC的面积为所以b2.

S11bcsinAbc3b24324,22cb47,c43b,可得b1,c43 (2)因为

a2b2c22bccos A148243由余弦定理得所以a37，

故△ABC的周长为14337.3372,

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属基础题.20.如图，在直四棱柱

ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，O为A1C1的中点，且

AB2.

（1）证明：OD平面AB1C.

22AB1所成角的正弦值为11，求三棱柱ABCA1B1C1的体积.

（2）若异面直线OD与

【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）连接到证明.

OB1，连接BD交AC于G，连接B1G，证明四边形OB1GD为平行四边形，得

（2）线OD与再计算得到

AB1所成角即直线B1G与AB1所成角，

sinAB1G2211,证明ACB1G，

BB17，利用体积公式计算得到答案.

OB1，连接BD交AC于G，连接B1G.【详解】（1）连接

易证因为

OB1DG，且OB1DG，所以四边形OB1GD为平行四边形，所以ODB1G.B1G平面AB1C，OD平面AB1C，所以OD平面AB1C.

ODB1G，

（2）由（1）知，

所以异面直线OD与

AB1所成角即直线B1G与AB1所成角，所以

sinAB1G2211.BBAC.

因为底面ABCD为正方形，所以ACBD，又侧棱垂直底面，所以1因为

BB1BDB，所以AC平面BB1D1D，所以ACB1G.

因为AG2，

sinAB1G2211，所以AB111，所以BB11147.1V22727ABCA1B1C1的体积2故三棱柱.

【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，计算出生的计算能力和空间想象能力.21.在数列等差数列（1）求

BB1的长度是解题的关键，意在考查学

an，bn中，a1b11，an13anbn3n1，bn13bnan3n1.

cn的前两项依次为a2，b2.

cn的通项公式；

（2）求数列

anbncn的前n项和

Sn.

n2S(4n9)236c8n10nn【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据递推公式计算

a22，b26，利用等差数列公式计算得到答案.

（2）将题目中两式相加得到

an1bn12anbn，故

anbn是首项为2，公比为2的

等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）∵故

a1b11，∴a22，b26，则cn的公差为d628cn的通项公式为cn28(n1)8n10.

an13anbn3n1，①

（2）

bn13bnan3n1，②

①②得

an1bn12anbn.

abn是首项为2，公比为2的等比数列，又a1b12，从而nnnabc8n102ab2nnn故n.nSn22622(8n10)2n，2Sn222623(8n10)2n1，Sn2Sn4822232n(8n10)2n1即

，

，

Sn482n14(8n10)2n1(188n)2n136n2S(4n9)236.n即

【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到

an1bn12anbn是解题的关键.

22l:(m2)x(12m)y4m20C:x2xy0交于M,N两点.22.已知直线与圆

（1）求l的斜率的取值范围；

（2）若O为坐标原点，直线OM与ON的斜率分别为是，求出该定值；若不是，请说明理由.

k1，k2，试问k1k2是否为定值？若

3,4（2）是定值1，详见解析【答案】（1）

【解析】【分析】

0,2，设kxy20，

（1）变换得到(2xy2)m(x2y4)0，得到直线过点

|k2|利用直线和圆的位置关系得到k121，计算得到答案.

4k2xx12k21ykx24xx2212kk2，化简x2xy0k21（2）联立，根据韦达定理得到，计算1计算得到答案.

【详解】（1）由(m2)x(12m)y4m20，可得(2xy2)m(x2y4)0.

2xy20x0x2y40y2，所以l恒过定点0,2.由，解得故可设l的方程为

y2kx0，即kxy20.

2x1由已知可得圆C的标准方程为

|k2|则由直线与圆C相交，可得y21，圆心

C1,0，半径r1，

k121.

33,k4.l4解得，所以的斜率的取值范围为

（2）

k1k2是定值

ykx22222k1x(4k2)x40x2xy0y联立，消去，整理得

.4k2xx12k21xx4122Mx1,y1Nx2,y2k1设，，由韦达定理得，

k1k2则

y1y2kx12kx22222kx1x2x1x2x1x28k422x1x2k12k2k112k2k4x1x2k21为定值.

【点睛】本题考查了斜率范围和定值问题，利用韦达定理求解是常用方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.