“四翼”体现
摘要：随着新课程改革、新课标卷的实施，高考已不再立足于考纲，主要立足于中国高考评价体系来进行试题的命制。高考评价体系包括：一核、四层、四翼，其中四翼包括：基础性、综合性、应用性、创新性。为了更好的适应接下来的新高考，结合之前的解三角形的高考真题对“四翼”的综合性、基础性、应用性、创新性进行理解。
关键词： 高考评价体系 四翼 解三角形 综合性 创新性 一、综合性体现--解三角形范围类问题
（一）、有限制的边角范围问题（已知两个元素） （2019·全国高考真题（理））
．
（1）求；（2）若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
的内角
的对边分别为
，已知
(1)根据题意故
，消去
得
，由正弦定理得．
，因为，
，
故
因为故或者，又因为
，而根据题意，代入得
，所以
，.
不成立，所以
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.又应用正弦定理，，由三角形面
积公式有
.
又因围是
,故，故.故的取值范
（二）、无范围的边角问题：
解决方法1：正弦定理+三角函数值域； 解决方法2：余弦定理+基本不等式 真题1：（2020·全国高考真题（理））sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求
周长的最大值.
中，sin2A－sin2B－
（1）由正弦定理可得：
，
.
，，
（2）由余弦定理得：，
即.（当且仅当时取等号），
，
解得：
（当且仅当
时取等号），
周长，周长的最大值为.
真题2：（2013·全国高考真题（理））△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.（（三）、已知一角的范围问题(已知一个元素) 解决关键：三角形的内角和定理， 解决方法：三角函数求值域。
真题1：（2011·湖南高考真题（理））:在为
且满足
1）．
中，角所对的边分别
（I）求角的大小；（II）求角
的大小．
（1）由正弦定理得
的最大值，并求取得最大值时
因为所以
（2）由（1）知于是
取最大值2．综上所述，
的最大值为2，此时
真题2：（2013·重庆高考真题（文））在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+bc．
（1）求A；:（2）设a=，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
（1）由余弦定理得：cosA=∴A=
；
==﹣，∵A为三角形的内角，
（2）由（1）得sinA=，由正弦定理得：b=S=bcsinA=•
•asinC=3sinBsinC，
，csinA=asinC及a=得：
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C），则当B﹣C=0，
即B=C==时，S+3cosBcosC取最大值3．
（四）、有限制的一角的范围问题
真题：（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且．
（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
（I）由角三角形，故
.
结合正弦定理可得：△ABC为锐
（II）结合(1)的结论有：
.由可得：，，
则
.
，.即的取值范围是
二、解三角形的基础性体现 （一）、正弦定理及变形； （二）、余弦定理及变形； （三）、已知两角及一边； （四）、已知两边及一边的对角； （五）、已知两边及夹角； （六）、已知三边；
（七）、三角形的面积公式。 三、解三角形的综合性再体现
（一）解多边形的应用（分解为多个三角形解决，从四个基本类型入手）
真题1：（2014·湖南高考真题（文））如图4，在平面四边形
中，
,
(1)求解：如图设
的值；(2)求
，(1)在
的长
中,由余弦定理可得
,即
,解
,于是又题设可知
得
(
舍去),
在中,由正弦定理可得.
,即
(2)由题设可得,于是根据正余弦之间的关系可得,而
,所以
,在中,,所以
.
真题2：（2015·四川高考真题（理））如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若求的值.
（1）（2）由
，得
.
.由（1），有
连结BD，在中，有，
，在中，有
所以，则，
于是于是
.连结AC，同理可得.所以
.
的内角与互补，
，
真题3：（2014·全国高考真题（文））四边形
．
（1）求和；（2）
；（2）求四边形．
的面积．【答案】（1），
真题4：（2015·全国高考真题（理））∠BAC，
面积是
面积的2倍．
中，D是BC上的点，AD平分
(1)求（2）1
；:(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．【答案】（1）；
真题5．（2013·全国高考真题（理））如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝点，∠BPC＝90°.
，BC＝1，P为△ABC内一
(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
【答案】（1）（2）
（二）与向量的综合——主要依托于向量为载体 真题1：（2009·浙江高考真题（文））在且满足
（1）求
，
．
的面积； （2）若
，求的值．
中，角所对的边分别为，
【答案】（1）2（2）
【解析】解：（Ⅰ）
，而
又
，所以
，，所以
的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而
，所以所以
真题2：（2014·辽宁高考真题（理））在b，c，且
，已知
，
，
中，内角A，B，C的对边a，
，求：（1）a和c的值；（2）
的值.
【答案】（1）；（2）
（1）由
.
得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得
又b=3，所以a>c,∴ a=3，c=2.
.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为
（2）在中，
，又因为
.
由正弦定理，得
，所以C为锐角，因此
于是
（三）、与数列的综合
=.
真题1：（2014·陕西高考真题（理））. （1）若（2）若
成等差数列，证明：成等比数列，求
的最小值.
的内角所对的边分别为
；
试题解析：（1）成等差数列由正弦定理得
（2）成等比数列
由余弦定理得
（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）
（当且仅当
时等号成立）即所以的最小值为
真题2：（2012·山东高考真题（文））在△ABC中，内角别为
，已知
成等比数列； ，求△
的面积S.
.
所对的边分
(Ⅰ)求证：(Ⅱ)若
【答案】(I)见解析 (II)
真题3：（2013·江西高考真题（文））
【答案】（1）等差；（2）
真题4：（2012·全国高考真题（文））△ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足
，求A．
【答案】
真题5：（2012·辽宁高考真题（文））在中，角A、B、C的对边分别为
a，b，c,角A，B，C成等差数列．
⑴求
的值；⑵边a，b，c成等比数列，求
的值．【答案】(1) ;(2).
（四）、与方程、函数的综合
真题1：（2015·四川高考真题（文））已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋
px－p＋1＝0（p∈R）两个实根.
，求p的值【答案】（Ⅰ）C＝
（Ⅰ）求C的大小:（Ⅱ）若AB＝3，AC＝60°；（Ⅱ）－1－
真题2：（2013·福建高考真题（文））如图，在等腰直角中，(Ⅰ) 若
，，求
，点的长； 上，且
，问：当
取何值时，
的
在线段
上.:
（Ⅱ）若点在线段
面积最小？并求出面积的最小值.
解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=2OP·MP·cos45°,
得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.
,OP=2
,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得
,所以OM=
,
=
同理ON=.故S△OMN=OM·ON·sin∠MON=×
==
==
==.
因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4真题3：（2015·上海高考真题（文）） 如图，
三地有直道相通，
千米，
千米，
千
.
米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为
（单位：千米）.甲的路线是
，速度为5千米/
时乙
小时，乙的路线是到达地.:
（1）求与
，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设
的值；
时，求
的表达
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当式，并判断
在
上得最大值是否超过3？说明理由.
解：（1），设此时甲运动到点，则千米，
所以千米.
（2）当所以
时，乙在
，
上的点，设甲在点，
，
所以，
当时，乙在点不动，设此时甲在点，所以.
所以超过了3千米.
四、解三角形的应用性
.所以当时,，故的最大值
真题1：（2015·上海高考真题（文））如图，相通，
千米，
千米，
三地有直道
千米.现甲、乙两警员同时从
（单位：千
，速度为8千米/小
地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为米）.甲的路线是
，速度为5千米/小时，乙的路线是
时乙到达地.:
时.乙到达地后原地等待.设
（1）求与
的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当式，并判断
在
上得最大值是否超过3？说明理由.
时，求的表达
真题2：（2014·上海高考真题（文））如图，某公司要在
两地连线上的定点处建造广告牌长35米，
的仰角分别为（1）设计中确到0.01米）？
.
是铅垂方向，若要求
，问
的长至多为多少（结果精
长80米，设
，其中为顶端，
在同一水平面上，从和看
（2）施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求
的长（结果精确到0.01米）？
【答案】（1）
米；（2）
米
真题3：（2013·江苏高考真题）如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿速度为
．在甲出发
后，乙从乘缆车到，在处停留
，山路
匀速步行，后，再从长为1260，
匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为经测量
，
． 的长；
后，乙在缆车上与甲的距
（1）求索道
（2）问：乙出发多少离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过在什么范围内？
，乙步行的速度应控制
【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）
五、解三角形的创新性体现——题型上的创新 真题1：（2020·北京高考真题）在这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）
和
的面积．
中，
，再从条件①、条件②
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）（Ⅱ）
,
.
, ；选择条件②（Ⅰ）6
【详解】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
真题2：（2020·海南高考真题）在①，②，③这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
，它的内角
的对边分别为
，且
，
解法一：由可得：，不妨设，即
.
，
，则：
选择条件①的解析：据此可得：，此时.
选择条件②的解析：据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：可得角形不存在.
，，与条件矛盾，则问题中的三
解法二：∵,∴,
，∴
, 若选①，
,∵
,∴
,∴c=1;
,∴,∴,∴
若选②，若选③,与条件参考文献：
,则,矛盾.
;
[1]教育部考试中心. 中国高考评价体系.北京：人民教育出版社，2019.11 [2]教育部考试中心. 中国高考评价体系说明.北京：人民教育出版社，2019.11
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