２ 中等数学 ＪＳｒ，．ｅｄｔ－，竞赛中立体几何问题的解析方法 彭广阳 （１．天津市第四十七中学，３００４００ 中图分类号：Ｏ１８２ 文献标识码：Ａ 孙 璐２ ２．天津师范大学滨海附属学校，３００４５０） 文章编号：１００５—６４１６（２０１８）０５—０００２一Ｏ６ （本讲适合高中） 立体几何是平面几何的延续，主要研究 ｘ２一 １ ｙ２一 ｚ２一 １ 五 ｄ＝ Ｚ１ 三维欧氏空问中几何图形的性质，需要较强 的空间想像能力和计算能力．此类问题经常 出现在预赛和联赛一试的填空题中． 解题的常见方法有：传统的立体几何解 法、解析法和向量法． ，（４）两直线 一 Ｘｌ Ｙ—Ｙ１ 名一Ｚｌ １知识介绍 ： ■ ■ 与１２： ＝ ＝ ’ （１）过两点 （ ，Ｙ。， ）、Ｂ（ ，Ｙ：， ）的 直线方程为 二 一 二 ！一兰 ２一 １ 一ｙ１ ２一三ｌ 之间夹角的余弦值为其方向向量夹角的余弦 值，即 ＣＯＳ ０＝—＝＝二兰二兰＝二 二＝兰三 ＿＝＝． （２）点Ａ（ｘ。，Ｙｏ，Ｚｏ）到直线 一 一 墨 ＋ ｙ２＋Ｚ１ √ ＋ ＋ √ ＋ ＋ Ｘ— Ｙ— Ｚ （５）点Ｍｏ（ ，Ｙｏ，ｚｏ）到平面 Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０ 的距离为 的距离为 ｌＡｘ０＋Ｂｙｏ＋Ｃ ＋Ｄ Ｉ ＋Ｂ ＋Ｃ 其中，∑表示轮换对称和． （３）异面直线 一． （６）边长为ａ的正 四面体如图１建立空间 Ｘ１ Ｙ—Ｙｌ 一Ｚ１ 直角坐标系，其中，Ｄ 为 底面△ＡＢＣ的中心，０ Ａ ： ■ ■ 与１２＂ ： ＝ ’ 为四面体的中心．则 ４（０，０，０）， Ｂ（Ｃｔ，０，０）， 图１ 之间的距离为 收稿日期：２０１８—０２—１６ ２０１８年第５期 ｃ（ 盘， 。，。），。（ 。， －ｄ－。， ｎ）， 。 （ ｎ， 。，。），。１ 。， 。）． 正四面体对棱互相垂直，且其中点连线 为对棱的公垂线． 如图２，设正 四面体ＡＢＣＤ的 棱长为ａ，分别取 ＡＢ、ＣＤ的中点 Ｍ、Ⅳ－则△ＡＢＮ 为等腰三角形．故Ａ Ｃ ＭＮｊ＿一ＡＢ． Ｄ 类似地， ＭＮ＼ＣＤ． 图２ 于是，ＭＮ为异面直线ＡＢ与ＣＤ之间的 公垂线． 由ＡＮ＝ＢＮ＝ ０，，，’ 得ＭＮ＝ ０．，＾ （７）过不共线三点 Ｍｉ（ ，Ｙ ， ）（ｉ＝１，２，３） 的平面方程为 一Ｘ１ ｙ—Ｙｌ 一Ｚ１ ２一Ｘ１ Ｙ２——Ｙｌ ２一Ｚ１ ＝０． Ｉ ３一 １ 乃 ——Ｙｌ Ｚ３——Ｚ１ （８）两平面 Ａ１ ＋ＢｌＹ＋Ｃ１ ＋Ｄ１＝０， 与 Ａ２ ＋Ｂ２Ｙ＋Ｃ２ ＋Ｄ２＝０ 之间的夹角等于其法向量（ ， ，Ｃ ）， （Ａ ，Ｂ：，Ｃ ）的夹角或其补角． 法向量间夹角的余弦值为 ＡｌＡ２＋ＢｌＢ２＋ＣｌＣ２ ＣＯＳ 珊 珊‘ （９）直线ｌ１： － ＝ ：Ｚ －Ｚ１与平面 Ａ１ 』１ １ Ａ１ ＋Ｂ１Ｙ＋Ｃ ＋Ｄ１＝Ｏ之间的夹角的正弦值为 ｓｉｎ ＿Ｉ幕 １． （１０）三面角公式． ３ 如图３，直线 与平面 交于点Ａ，ＡＢ 为ＯＡ在平面 内的投影，ＡＣ为平面 内过 点Ａ的任一直线． 图３ 设 ＯＡＢ＝ １， ＢＡＣ＝ｏ２， ＯＡＣ＝ 则 ＣＯＳ ０＝ＣＯＳ ０１。ＣＯＳ ０２． （１１）若Ａ、Ｂ、Ｃ是半径为Ｒ的圆上三点， 一≤ ． ２例题选讲 例１ 如图４，在 四面体ＡＢＣＤ中， △ＡＢＣ为正三角形， ＡＤ＝ＢＤ＝２．ＡＤ上 ＢＤ，ＡＤ＿ｌ－ＣＤ．则点Ｄ 到面ＡＢＣ的距离为 图４ ［１］ （２０１６，全国高中数学联赛江西赛区预赛） 【分析】据题意得 ＡＢ＝ 面＝２ ． 则ＢＣ＝ＣＡ＝ＡＢ＝２ ， ｃＤ＝ ＝２， Ｄ＝ＢＤ：ＣＤ＝２． 因为ＢＣ ＝ＢＤ ＋ＣＤ ，所以，ＢＤ上ＣＤ． 以Ｄ为原点、 为 轴、加为Ｙ轴、 ｃ 为 轴建立空间直角坐标系． 易知，Ａ（２，０，０），Ｂ（Ｏ，２，０），Ｃ（０，０，２）． 故△ＡＢＣ所在平面方程为 ＋Ｙ＋ ＝２． 因此，点Ｄ到面ＡＢＣ的距离为 ＩＯ＋０＋Ｏ一２ Ｉ ２√ √１＋１＋１ ，—————————————一 ＾ 。ｊ 【注】在解题过程中，直接利用点到面的 ４ 距离公式进行计算，计算量较小． 例２ 已知正三棱锥Ｓ—ＡＢＣ的底面是 边长为１的正三角形，侧棱长为２．若过直线 ＡＢ的截面将正三棱锥的体积分成两个相等 的部分，则截面与底面所成二面角的平面角 的余弦值为——． （２０１６，全国高中数学联赛浙江赛区预赛） 【分析】如图５， 建立空间直角坐标系 设０为点Ｓ在底面上 的投影，ＯＳ：ｈ．则 Ａ（０，０，０）， Ｂ（１，０，０）， ｃ １ ５－，０）， Ｄ ，０）， 图５ ｓ ， ）． 由ＳＡ＝２．得 腼 ＝２ ｊ ＝孚 ５ １ ６，孚） Ｄ １鱼３， ）． 由性质（７），知面ＤＡＢ的方程为 ｙ一２ ｚ＝ ． 而平面ＡＢＣ的方程为 ＝０，故两平面法 向量间夹角的余弦值为 ｃ。８ ： ． 因此，两平面所成二面角的平面角的余 弦值为 ． 【注】先由本题中的关键词“正三棱锥” 联想到性质（６），可得到各点的坐标．再通过 （７）计算平面ＤＡＢ的方程，得到截面ＤＡＢ与 底面ＣＡＢ所成的二面角． 中等数学 例３设四面体的一条棱长为６，其余棱 长均为５．则此四面体的外接球的半径为 ［３］ ．．．．．． ．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．＿． （２０１６，全国高中数学联赛湖北赛区预赛） 【分析】设 ＰＡ＝ＰＢ＝ＢＣ＝ＡＢ＝ＡＣ＝５．ＰＣ＝６． 如图６，建立空间直角坐标系． 则 （０，０，０），Ｂ（５，ｏ，ｏ），ｃ（ ，５ｆ２，０）， ＰＡ＝ＰＢ． ５—２ 、 』 ｙ 一 ２ 设Ｐ在底面ＡＢＣ上的投影为点Ｐ ，Ｖ， 取ＡＢ ５ ～一３一 的中点Ｑ．则Ｑ（ ５，ｏ，ｏ），且Ｐ 在边Ｃ＋ Ｑ ｉ．２ 设Ｐ（詈， ， ）． ＝ ２ ２ ＝ Ｉ，Ｊ ３ ， ６ 由ＰＡ＝５．ＰＣ＝６ ２丁，／１ １７） Ｐ ，３ －，２，／５．１ １７） 设球心Ｄ（詈， ， ）在△ 日ｃ重心 Ｅ ５ ，３－，０）＠ｔｉＴｙ． 由ＯＡ＝ＯＰ ． ｊ ＋（警卜 ＝ （２，／￣ １７一 ）‘ ２０１８年第５期 ． １ ＝—— √１１７ 。 竽， ］ 外接球半径，．＝Ｉ ｌ＝２—ｏ 一． 例４如图７，在四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ中， 上底面ＡＢＣＤ，ＪＥ｝Ｃ＝ＣＤ＝２，ＡＣ＝４， ＡＣＢ＝ ＡＣＤ＝ ，Ｆ为Ｐｃ的中点，ＡＦ上船． 图７ 求（１） 的长； （２）二面角Ｂ一 Ｆ—Ｄ的正弦值． （２０１６，全国高中数学联赛甘肃赛区预赛） 【分析】（１）如图８，联结ＢＤ，与ＡＣ交于 点０． ８ 由ＢＣ＝ＣＤ＝２，知△ＢＣＤ为等腰三角形． 又ＡＣ平分 ＢＣＤ，故ＡＣ上ＢＤ． 以０为坐标原点， 、ＤＣ、 Ｐ的方向分 别为 轴、Ｙ轴、 轴的正方向，建立空间直角 坐标系０一ｘｙｚ．则 ＯＣ＝∞ｃｏｓ詈＝１． 而ＡＣ＝４，得ＡＯ＝ＡＣ—ＯＣ＝３． ５ 又 ＝ＣＤｓｉｎ ： ，故 Ａ（Ｏ，一３，Ｏ），Ｂ（√３，０，Ｏ）， Ｃ（０，１，Ｏ），Ｄ（－√３，０，０）． 而 上底面ＡＢＣＤ，可设Ｐ（Ｏ，一３， ）． 由Ｆ为ＰＣ的中点，得Ｆ（Ｏ，一１，号）． 又 ＝（０，２，手）， ＝（ ，３，一 ）， ＡＦ ＰＢ 故ＡＦ·ＰＢ＝０ ２ ｊ ６一Ｋ －＝Ｏ，彳＝２ （负值舍去） ｌＩ ————，ｌＪ ＝２√３ ｒ— ＰＡ的长为２√３． （２）由（１）知 （Ｏ，一３，０），Ｂ（√３，０，０），Ｃ（０，１，０）， Ｏ（－√３，０，０），Ｆ（Ｏ，一１，√３）． 则由性质（７），知平面ＡＢＦ的方程为 ３ 一√３Ｙ＋２ 一３√３＝０， 平面ＡＦＤ的方程为 ３ ＋ 一２ ＋３ ＝ｏ． 故两平面法向量间夹角的余弦值为 １ ＣＯＳ ０ 一８‘ 因此，二面角 －ＡＦ－Ｄ的正 撒 ． 例５已知四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ 是边长为２的菱形，／ＡＢＣ＝６０。，Ｅ为ＡＢ的 中点，ＰＡ上平面ＡＢＣＤ，ＰＣ与面ＰＡＤ所成角 的正弦值－ －√０－ｄ－． （１）在棱ＰＤ上求一点Ｆ，使得ＡＦ／／面 ＰＥＣ； （２）求二面角Ｄ一船一 的余弦值．［ ］ （２０１６，全国高中数学联赛黑龙江赛区 预赛） 【分析】（１）记ＡＣ与ＢＤ的交点为０．以 ＢＤ为 轴、 为Ｙ轴、过点Ｄ作平面ＡＢＣＤ 的垂线为 轴建立空间直角坐标系，如图９． ６ 则Ａ（Ｏ，１，０），Ｂ（一√３，０，０），Ｃ（Ｏ，一１，０）， Ｄ（ ，ｏ＇ｏ （＿鱼２， １，０）． 设Ｐ（Ｏ，１， ）．￣１］Ｐｄ＝（０，一２，一ｍ）． 设平面ＰＡＤ的法向量ｒｉ：（ ，ｙ，Ｚ）， ＡＰ＝（０，０，ｍ），ＡＤ＝（√３，一１，０）． 贝则ｉｆＪ｛ 一 ：ｏ ，ｌ：（＝（ ，３，０） ）ｌ－ －６ ｌ＝ ｊ ｍ＝２ Ｐ（Ｏ，１，２）． 设 ＝ ，Ｄ，ＡＰ＝（０，０，２）， ＰＤ＝（√３，～１，一２）． ￣Ｉ］ＡＦ＝ＡＰ＋ＰＦ＝（√３ ，一 ，２—２ ）． 设平面ＰＥＣ的法向量ｍ＝（ ，ｙ， ）， ＝（譬专，２）， ＝（０，一２，一２）． 则 ＋ －ｏ， 【一２ 一２ ：０ ＝ ｍ＝（一√３，一ｌ，１）＝ ｍ·ＡＦ：０ ＝ 一３ ＋ ＋２—２２＝ｏ＝ ＝． Ｆ为肋的中点． （２）由性质（７），知平面ＰＥＡ的方程为 ｘ一 ＝０． 平面ＰＥＤ的方程为 ｘ＋３ ｙ七 ｚ＝Ｑ． 则两平面法向量间夹角的余弦值为 ｅ。ｓ ９＝一４ Ｕ￣－（『＿． 中等数学 故二面角Ｄ—ＰＥ—Ａ的余弦值为 ． Ｊ１ 【注】由于菱形ＡＢＣＤ的对角线互相垂 直且平分，从而，以对角线的交点０作为坐 标原点建立空间直角坐标系势在必行．解析 法尽管计算量较大，但思路简捷，计算能力是 数学竞赛最基本的能力． 例６ 在正四面体ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ分别 在棱ＡＢ、ＡＣ上，满足ＢＥ：３， ＝４，且Ｅ 与面ＢＣＤ平行．则△ＤＥＦ的面积为——． （２０１７，全国高中数学联合竞赛（Ｂ卷）） 【分析】据性质（６），建立空间直角坐标 系如图１Ｏ． 图１０ 因为正四面体棱长是７，所以， Ａ（０’０）ｏ，０，Ｂ（７’ｏ０）＇０，ｃ ，０）， Ｄ ， ）＇Ｅ（４，ｏ０ （＇０２，２ ）． 由于△ＤＥＦ为等腰三角形，作底边 上的高ＤＨ，则Ｈ为ＥＦ的中点． 故日（３，√３，０）． 据两点间距离公式得ＤＨ＝、／３３． 因此，Ｊｓ Ｆ＝÷ＥＦ·ＤＨ＝２￣／３３． 练习题 １．在正方体ＡＢＣＤ—Ａ Ｂ１ Ｃ Ｄｌ中，二面 角Ｂ一４ Ｃ—Ｄ的大小为——． （２０１６，全国高中数学联赛福建赛区预赛） 提示建立如图１１的空间直角坐标系． ２０１８年第５期 设正方体棱长为１．则 Ｄ（０，０，０）， （０，１，０），Ｂ（１，１，０）， Ｃ（１，０，０）， （０，１，１）． 由性质（７），知平面ＢＡ Ｃ的方程为 ＋ｚ一１＝０． 平面Ａ ＣＤ的方程为Ｙ— ＝０． 则两平面法向量间夹角的余弦值为 ｅ。ｓ ＝一 ． 故二面角 一 Ｃ—Ｄ的大小为１２０。． ２．设正三棱柱ＡＢＣ—Ａ】Ｂ Ｃ 的高为２， 底面边长为１，上底面正△ Ｂ Ｃ 的重心为 Ｐ＿过下底边ＢＣ作平面ＢＣＤ上４Ｐ，与棱 交于点Ｄ．则截面△ＢＣＤ的面积为——． （２０１６，全国高中数学联赛山西赛区预赛） 提示如图１２， 建立空间直角坐 标系． 设ＡＤ＝ｈ．则 （０，０，０）， Ｂ（１，０，０）， ｃ 一孚，ｏ）， 。（０，０，２）， Ｂ１（１，０，２）， 图１２ ｃ １一－ｉ，２）， Ｐ（ １，－￣。－，２，１，。（Ｏ，Ｏ，ｈ）． 由于ＡＰ．ｉ＿面ＢＣＤ， ＝（ １，一 ６，２）， ＝（－１，０，ｈ）， 则 · ＝０ ＾＝ １ ｊ。（ｏ，０，÷）． ７ 又因为ＢＣ＝ｌ， ＣＤ： 丽‘ ￣／１７ — ４ ’ ，，ＢＤ＝ ／１７ ４ ’ 所以，／￣ＢＣＤ的半周长ｐ： ＋ ． 由海伦公式得 ｓ＝ 而＝ ． ３．在两个底面重合的正四面体Ａ—ＯＢＣ、 Ｄ—ＯＢＣ中， 、Ⅳ分别为△ＡＤＣ、△ＢＤＣ的 重心．记 ＝ａ，０百＝ｂ，０ｃ＝ｃ．若点Ｐ满足 ＯＰ＝ｘａ＋ ＋ ，ＭＰ＝２刖，贝０实数９ ＋８１ｙ ＋７２９ｚ＝————一 （改编自２０１６年全国高中数学联赛浙江 赛区预赛题） 提示以０为原 点、ＯＢ所在直线为 轴，建立如图１３的空 间直角坐标系． 设Ｂ（１，０，０）．则 ｃ ２＇ ２，ｏ１， （ １ 图１３ （１ ４ｒ３，一 由题意及 ＝２ ＰＮ，知 尸（１ ，１：’ 訾，５４ ’ 一 ）２７ ． 故ＯＰ＝ｘａ＋ ＋ｚｃ ２ ４ ５ 一 ，Ｙ ， ＝ ９ｘ＋８１ｙ＋７２９ｚ＝４３９． ４．已知正四棱锥Ｓ—ＡＢＣＤ侧棱长为４， ＡＳＢ＝３０。．在侧棱５Ｂ、ｓｃ、ＳＤ上分别取点 Ｅ、Ｆ、Ｇ．则 Ｅ＋ ＋ＦＧ＋ 的最小值为 （２０１６，全国高中数学联赛四川赛区预赛） 提示将四棱锥侧面沿 展开，如图１４ ． ８ 中等数学 解题小品 中图分类号：Ｏ１４２ 文献标识码：Ａ 本末倒置 文章编号：１００５—６４１６（２０１８）０５—０００８—０３ 陶平生 （江西科技师范大学数学与计算机科学学院，３３００１３） 庄子在《齐物论》中叙述了这样的一则 故事：“狙公赋芋日：‘朝三而暮四’，众狙皆 怒．日：‘然则朝四而暮三’，众狙皆悦．” 这则故事说明一名养猴者打算分给每只 猴子七粒橡子，分法为早上三粒，晚上四粒， 所有的猴子均表示反对；养猴者随后改口为 思考． 例１若关于 的方程 一１６ｘ ＋（８１—２ａ）ｘ ＋（１６ａ一１４２）ｘ＋ ２１口＋６８＝０ 一的各根为整数，求ａ的值，并解此方程． （２００９，全国初中数学联赛（江西卷）） 解理得 早上四粒，晚上三粒，赢得所有猴子的欢呼． 在解题中，可根据实际需要，采用“主元 视原方程为ａ的一元二次方程，整 更替”“变换形式”“操作倒转”等方式以换位 收稿日期：２０１８—０３—２３ 口 一（２ｘ 一１６ｘ＋２１）ａ＋ （ 一１６ｘ。＋８１ｘ 一１４２ｘ＋６８）＝０． ① 又易知直线ＰＣ在平面Ｏｌ上的射影为直 ＼ Ｅ／Ｆ ／／ ‘＼ 图１４ 线ＭＫ，而ｃ ：１， ： ，于是， ｃｏｓ／ＫＭＣ＝Ｋ酉Ｍ２＋ＭＣ２－－ＫＣ２＝ ． 因此，棱Ｐｃ与平面Ｏｇ所成角的余弦值 为 ． 故ＡＥ＋ＥＦ＋ＦＧ＋ 的最小值为 ２ＳＡｓｉｎ ６０。＝４ ． ５．在正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ中，ＡＢ＝１，ＡＰ：２， 参考文献： ［１］２０１６年全国高中数学联赛江西赛区预赛［Ｊ］．中等数 学，２０１７（５）． 过ＡＢ的平面Ｏｌ将其体积平分．则棱ＰＣ与平 面Ｏｔ所成角的余弦值为一提示 （２０１７，全国高中数学联合竞赛） 设ＡＢ、ＡＣ的中点分别为Ｋ、 易 ，’ ［２］２０１６年全国高中数学联赛浙江赛区预赛［Ｊ］．中等数 学，２０１７（７）． ［３］２０１６年全国高中数学联赛湖北赛区预赛［Ｊ］．中等数 学，２０１７（５）． 证平面ＡＢＭ即为平面Ｏ１． 由中线长公式，知 ＝ ． ［４］２０１６年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛［Ｊ］．中等数 学，２０１７（４）． 故ＫＭ＝ ： 一２ ＼㈦ ７２ ０２‘ｓ ［５］２０１６年全国高中数学联赛黑龙江赛区预赛［Ｊ］．中等 数学，２０１７（８）．