平均数问题
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量×平均数
【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？
【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；
（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）
（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）
由（1）（2）两个等式可知：
1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个）
1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个）
1箱苹果有多少个：28＋18=46（个）
【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？
【解析】甲113 丁77
【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？
【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。
【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？
【解析】9人
【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？
【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。
【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为92分。缺考的两位同学补考均为100分，这次五（1）班同学期中考试的平均分是多少分？
【解析】92.4分
【例4】★★把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？
【解析】先求出五个数的和：38×5=190，再求出前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
【小试牛刀】甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
【解析】20
【例5】★★小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，
政治、数学两科平均91.5分，政治、英语两科平均86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？
【解析】因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文是（168－10）÷2=79分，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89=83分；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83=100分；最后根据五科的平均成绩是89分可知，自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。
【小试牛刀】甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？
【解析】83
【例6】★★幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？
【解析】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（30＋20）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块，30个小朋友一共多2×30=60（块），这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得60÷20=3（块）。因此，大、小班小朋友分得平均块数是10＋3=13（块）。一共分掉13×（30＋20）=650（块）。
【小试牛刀】数学兴趣小组里有4名女生和3名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是90分，男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分？
【解析】91.5
【例7】★★王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。剩下的步行，每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？
【解析】求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4=4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。
【小试牛刀】小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。
【解析】3.75千米/时
【例8】★★小明参加了六次测验，第三、第四次的平均分比前两次的平均分多2分，比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？
【解析】为了便于理解此题，不妨设前两次的平均分为x分，前三次平均分为y分。根据题意可画出下列两组线段图：
从图中可以知道6x+12=6y+9，求得y-x=0.5，这个结果说明前三次的平均分比前两次的平均分多0.5分。由此可知第3次的分数比前两次的平均分多（0.5×3）分，即1.5分。根据条件第3、4次的平均分比前两次的平均分多2分可知，只有第4次的分数比第3次的分数（x+1.5）多（0.5×2）分，才能使第3、4次的平均分比前两次的平均分多2分。所以，第4次比第3次的成绩多1分。
【小试牛刀】暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录.如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米;如果最后一天游778米，则平均每天游498米;如果他想平均每天游500米，那么最后一天应游多少米?
【解析】因为平均每天所游的距离提高 498-495=3米，需要多游778-670=108米，所以暑假一共有108÷3=36天，如果平均每天游500米，则要在最后一天游 (500-498)×36+778=850米。
【例9】★★★六位同学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第三位的同学至少得了多少分？
【解析】“至少”的含义是：第三位同学的得分若低于这个分数，不论其它同学得多少分，平均分都不会达到92.5分。要想使第三位同学的得分尽可能的少，应使第二位同学的得分尽可能的多；同时，第四位、第五位的同学得分与第三位同学的得分尽可能的接近。由此，可先求出第三位、第四位、第五位同学的平均分，再对三位同学的分数进行调整即可解决问题。
解答过程:1．第三、四、五三位同学的平均分
（92.5×6-99-76-98）÷3
=282÷3
=94（分）
2．第三位同学的得分
94+1=95（分）
答：第三位同学至少得95分。
【例10】★★★某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多 分。
【解析】解法一：根据题意可知：前六人平均分=前十人平均分+3，这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18(分)，来弥补后四人的分数。因此后四人的平均分比前十人平均分少18÷4=4.5分，也就是：后四人平均分=前十人平均分一4.5 。
当后四人调整为二等奖，这样二等奖共有20+4=24(人)，平均每人提高了1分，也就由调整进来的四人来供给，每人平均供给24÷4=6(分)，因此，四人平均分=(原来二等奖平均分)+6，与前面 式比较，原来一等奖平均分比原来二等奖平均分多4.5+6=10.5(分)。
【小试牛刀】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将二等奖中前4人调整为一等奖，这样得二等奖的学生的平均分下降了1分，得一等奖的学生的平均分下降了2分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多 分。
【解析】(10×2+20×1)÷4=10分
1．甲、乙两人的平均年龄是12岁，乙、丙两人的平均年龄是15岁，甲、丙两人的平均年龄是13岁，甲、乙、丙三人各几岁？
【解析】1．甲、乙、丙的年龄和
12+15+13=40（岁）
2．甲的年龄
40-15×2=10（岁）
3．乙的年龄
40-13×2=14（岁）
4．丙的年龄
40-12×2=16（岁）
答：甲、乙、丙的年龄分别是10岁，14岁，16岁。
2.李刚在一次考试中，数学得84分，语文得93分，英语得87分，政治因病缺考，他要使自己这4科平均分达到90分，在补考政治时，至少要得多少分？
【解析】“至少”的含义是：在此分数之下，平均分达不到90分，在此分数上均可使4科平
均分达到90分。基于这个条件，不妨设4科的平均分就是90分，先求出4科的总分，再依次去掉数学、语文、英语的分数。
90×4-84-93-87
=360-264
=96（分）
3.小玲练习跳绳，他已经跳了若干次，准备最后再跳一次，如果最后这次跳48个，那么平均每次跳56个，如果最后这次跳68个，那么平均每次跳60个。小玲已经跳了几次？
【解析】通过最后一次所跳不同个数对最终结果的影响的比较，可以发现，若多跳68-48=20个，可以使平均数增加60-56=4个，即平均每次增加4个，由此可知所跳的次数。
（68-48）÷（60-56）-1
=20÷4-1
=4（次）
答：小玲已经跳了4次。
4.在下面这些整数组中，哪一组数的平均数最小？
A：在1001～1999之间2的倍数；
B：在1001～1999之间4的倍数；
C：在1001～1999之间5的倍数；
D：在1001～1999之间7的倍数；
【解析】要比较哪组平均数小，就要依次算出每组数的平均数。以2的倍数为例：1001—1999之间2的倍数有1002、1004……、1998共499个数，逐一相加求和太麻烦，注意到这是一个公差为2的等差数列，可以用等差数列求和的方法计算，这样就得到：
（1002+1998）×499÷2÷499=（1002+1998）÷2=1500
从上面这个式子可以发现，在求和时要乘以项数，而在求平均数时又要除以项数，这样等差数列求平均数可以直接用（首项+末项）÷2来解决。
A组：（1002+198）÷2=1500
B组：（1004+1996）÷2=1500
C组：（1002+1998）÷2=1500
D组：（1001+1995）÷2=1498
答：D组数的平均数最小。
5．五个数的平均数是30，如果把这五个数从小到大排列，那么前三个数的平均数是25，后三个数的平均数是35，问中间的那个数是多少？
【解析】不妨设五个数从小到大排列分别为A、B、C、D、E。根据题意可知
A+B+C=25×3 （1）
C+D+E=35×3 （2）
A+B+C+D+E=30×5 （3）
对上面式子做（1）+（2）-（3）运算即可求出中间数C。
解：（25+35）×3-30×5=30
答：中间的那个数是30。
6．甲、乙、丙、丁四个数，已知甲数是21，乙数是14，丙数是25，丁数比四个数的平均数还少6，丁数是多少？
【解析】由丁数比四个数的平均数少6可以知道，甲、乙、丙三个数的平均数比甲、乙、丙、丁四个数大。这两个平均数差的3倍恰好是丁数比四个数的平均数所少的6，（如下图所示）。故可以根据甲、乙、丙三个数的平均数先求出甲、乙、丙、丁四个数的平均数，再求丁数。
1．甲、乙、丙三个数的平均数
（21+14+25）÷3=20
2．甲、乙、丙、丁四个数的平均数
20-6÷3=18
3．丁数是
18-6=12
答：丁数是12。
7．小刚前几次数学测验的平均成绩是88分，这一次要考96分，才能把平均成绩提到90分，这一次是第几次测验？
【解析】根据题意可以画出下图
从图中我们不难看到，只要把96分比90分多的分数平均分给前几次，使前几次的平均分由88分增加到90分，问题即可解决。
（96-90）÷（90-88）+1=4（次）
答：这一次是第4次测验。
8．一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，从乙地到甲地每小时行40千米，这辆汽车平均每小时行多少千米？
【解析】求平均速度应该用总路程除以总时间，而不能用（60+40）÷2=50（千米），这样得到的结果是两种速度的平均数，而不是汽车的平均速度。此题的总路程和总时间没有直接给出，我们可以假设甲地到乙地的路程是S，这样从甲地到乙地，再返回甲地的总路程是2S。从甲地到乙地的时间是（S÷60）小时，从乙地到甲地的时间是（S÷40）小时。由此，平均速度为：
2S÷[（S÷60）+（S÷40）]
S24
2S=48（千米）
答：这辆汽车平均每小时行48千米。
9．有4个自然数，任选其中3个数求出它们的平均数，再加上另外一个数，这样得到如下四个数：51、39、43和41。那么原来4个数依次是多少？
【解析】既然是4个自然数，不妨设这4个数分别为a，b，c，d。依题意可得到下面四个算式：
（a+b+c）÷3+d
（a+c+d）÷3+b
（a+b+d）÷3+c
（b+c+d）÷3+a
把上面4个算式相加得到
（3a+3b+3c+3d）÷3+（a+b+c+d）
=2（a+b+c+d）
由题意可知：
2（a+b+c+d）=51+39+43+41
a+b+c+d=87
不妨设（a+b+c）÷3+d=39，这样就有（a+b+c）+3d=39×3，即a+b+c+2d=117，结合算式a+b+c+d=87可知2d=30，所以d=15。同理可以求出a=33，b=21，c=18。
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