数学竞赛中的不等式问题

数学竞赛中的不等式问题

不等式是数学知识体系的基础,是研究数学问题的重要工具,它渗透于高中数学的各个部分,是数学思想的重要载体之一.而数学思想应用的程度直接反映学生对所学知识的理解、掌握程度,直接反映学生的思维素质,这也正符合数学竞赛的重要功能——选拔人才的客观要求.因此,不等式问题在数学竞赛中屡屡出现,且所占的比重较大.本文总结了数学竞赛中出现的各种不等式问题,运用拆项、添项、并项、套用等方法,说明不等式的灵活应用.

1 数学竞赛中出现的不等式问题

1.1 蕴含函数、方程思想的不等式

函数、方程和不等式有着内在的联系,函数性质的研究依赖于不等式及方程的知识.同样在解不等式时,以函数为桥梁和纽带,往往使问题豁然开朗,起到事半功倍的效果.

例1（2005年全国数学联合竞赛题）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a2+a+1)03a2-4a+1>0a2+a+1>3a2-4a+1解得0logx2-1则x的取值范围为（）.

A:且x≠1C:x>1 D:00且x≠12x2+x-1>0

解得x>且x≠1

由logx(2x2+x-1)>logx2-1

可得logx(2x2+x-1)+1>logx2

即logx(2x3+x2+x)>logx2

所以就有12x3+x2-x>2

由2x3+x2-x-20

得 x>1 所以1

即x的取值范围为x>且x≠1,即选项应为B.

在例2中,我们也看到了分类讨论情况,这也是不等式问题中经常遇到的.下面我们就此类问题进行讨论.

1.3 蕴含分类讨论思想的不等式

有些问题,从已有知识经验知道,必须分类讨论方能解决.还有些问题的分类讨论是产生在思维受阻或不畅的时候.分类讨论是数学中一种重要的思想方法和解题策略,当问题所给的对象不易进行统一研究或推理,只有用分组的形式才能方便的表示出来时,就需要对研究的对象进行分类,对每一类分别研究,得出每一类的结果,最后综合各类结果,得到答案.

选择好的思想着眼点,是使思维顺利发展的关键,也是认识为什么分类以及准确恰当分类的前提.

2不等式的证明

弗莱登塔尔这样描述数学的表达形式：“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来,一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽.”不等式证明问题,还原了数学概念和知识的火热思考过程,突出了数学问题的本质,是考察学生的思维品质和创新精神的好题型.

例3（第20届IMO试题） 设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,求证：++…+≥++…+.

证明：因为a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列

所以(a1+1)(a2+1)…(an-1+1)

=(1+1)(2+1)…(n-1+1)

=2·3…n=1·2·3·…·n

=a1a2…an

所以++…+++++…+

=++…+++++…+

=+++…+

≥n·=n

即++…+≥n-(1++…+)

因为n=(++…+)+(1++…+)

所以++…+≥+…+ .

分析：这个证明很巧,巧在给欲证明的不等式两边同加上1+++…+即++…+然后只需用平均值不等式即可.另外,在使用重要不等式证明时,根据所证明的不等式的结构,常常需要配合一定的变形技巧与转化策略,才可以使用重要不等式最终把问题解决.

2.1 套用

例4（1993年高中联赛题）实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5设S=x2+y2则+的值为（ ）.

解：因为+≥|xy|

所以-≤xy≤

-≤5xy≤

又因为5xy=4x2+4y2-5

所以4x2+4y2-(x2+y2)≤5≤4x2+4y2+(x2+y2)

S≤5≤S

S≤5≤

所以Smax= Smin=

所以+=+==.

2.2 项的巧拆和巧组

例5（第25届全俄数学奥林匹克试题）已知a,b,c∈R+,求证(a+b+c)2≥a+b+c.

证明：因为a,b,c∈R+

则a2+b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)

≥ab+bc+ca

（a=b=c时取等号）(1)

重复使用不等式 (1),可得

(a+b+c)2=(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca)

≥(ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca)

=ab+bc+ca

≥·+·+·.

2.3 待定常数的巧引

例6（1990年高中联赛题）p为△ABC内一点,D,E,F分别为p到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,求所有使++为最小的P点.

解：用S表示△ABC的面积,

于是得BC·PD+CA·PE+AB·PF=2S (1)

并设λ>0,则有

+λ2 ·BC·PD≥2λ·BC

λ2 ·CA·PE≥2λ·CA

λ2 ·AB·PE≥2λ·AB

将上面三式相加,并利用(1整理可得

++≥2λ(BC+CA+AB)-2λ2S

易见上式当且仅当PD=PE=PF=,即p为△ABC的内心时等号成立,于是λ=,因而使++为最小的点p是△ABC的内心,且其最小值为.

2.4 结构的巧变

例7（第6届IMO试题）已知a,b,c为△ABC的三条边,求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.

证明：原不等式等价于下面的不等式

a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc≤abc

a2(b+c-a)+b2(c-b)+c2(b-c)+ a2(b2+c2-2bc)≤abc

a2(b+c-a)+(c-b)2(b+c-a)≤abc

(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)≤abc (1)

因为·≤[(b+c-a)+(c+a-b)]=c

同理：·≤b ·≤a

以上三式相乘便得(1),于是原不等式得证.

以上七个例题简单介绍了利用基本不等式解竞赛题的常用的几种处理技巧.关于不等式问题还有其他一些解决方法,比如变量代换,增量代换等.

不等式的证明除掌握一些基本方法外,还要能娴熟的运用著名不等式以及它们的推广形式,要注意锻炼自身的代数变形能力和计算能力,这是不等式证明的基础.对不等式中一些不怎么“规矩”的问题及一些特殊技巧也要作进一步的了解并掌握之,对一些繁、难、怪的不等式问题要敢于尝试,细心领会其证明技巧和方法.

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