定义1：设为个随机事件，若任意取个事件 ,都满足概率等式，则称为个相互独立的随机事件。
定义2：设为个随机变量，若联合密度函数满足，或，联合概率函数满足，则称为个相互独立的随机变量。
定义3：设和是两个随机向量，若它们的联合概率密度等于各自概率密度的乘积，即，则称和是相互独立的。
定义4：若随机变量满足时，事件发生，则称为的指示变量，为的指示事件；
推论1：从个相互独立的随机事件中任取个事件，则这个随机事件也是相互独立的；
推论2：个相互独立的随机事件，将其中的任意事件替换为补事件，替换后的个随机事件也是相互独立的；
下面定理的证明，仅对连续性随机变量进行证明，离散型随机变量将积分替换为求和式即可证明。其中是的联合密度函数，是的边缘密度函数。
定理1：设为个相互独立的随机变量，从中任取个随机变量，则这个随机变量也是相互独立的。
证明：假设取的是，这样假设仍不失其一般性，则：
，故是相互独立的随机变量。命题证毕。
定理2：从个相互独立的随机变量中任取个不重复的随机变量，则这个随机向量是相互独立的。
证明：设这个随机向量依次为，是随机向量包含的第个向量，则的联合概率密度为：
，故是相互独立的随机向量。
定理3：若为个相互独立的随机变量，为对应的指示事件，则是相互独立的；反之亦然。
证明：首先证明充分性。若相互独立，从中任取个事件，不妨假设取的是，这样假设仍不失其一般性，则
，即是相互独立的，故是相互独立的随机事件。
然后证明必要性，若相互独立，则：
，则，故是相互独立的随机变量。命题证毕。
定理4：为个随机变量，若，其中仅是的函数，则是相互独立的随机变量，且是的常数倍；
证明：我们首先证明的边缘概率密度函数是的常数倍。
，其中是积分运算得到的常数。按照相同的方法，可以证明。
因为 ，故，所以是相互独立的随机变量。命题证毕。
定理5：若是个相互独立的随机变量，从中任取个不重复的随机变量，随机变量，则是相互独立的随机变量。
证明：设随机事件是随机变量的指示事件，随机事件是事件发生时，随机变量的指示事件，则：
，即是相互独立的随机事件，由 定理3 可知是相互独立的随机变量。命题证毕。
定理6：是个相互独立的随机事件，是由不重复的指定的随机事件，其中，依赖于随机事件，则是相互独立的。
证明：利用 定理5 进行证明。设的指示变量为，的指示变量为，则是相互独立的随机变量。依赖随机事件，故是的函数，即。
由 定理5 可知，是相互独立的随机变量，故是相互独立的随机事件。命题证毕。
定理7：若随机向量和相互独立，则随机向量和相互独立。和的函数和相互独立。
证明：和的联合概率密度，故和相互独立，同理可证和相互独立。
由 定理6 和 定理3 可知，和相互独立。命题证毕。