前言

论文简介

一般图像二值化的处理是对图像灰度化后，处理其直方图，取其中的一个点作为threshold，以此为界，将图片中灰度小于该点的值、大于该点的值分成两部分。

Fuzzy Set Theory

作者先介绍了一个称作Fuzzy Set的理论。令X＝｛X1,X2....Xn｝，函数μ，它将X中的每个元素映射到［0，1］区间上，即对于X中元素Xi，有： 0<=μ（Xi）<＝1，令A＝｛（ Xi , μ(Xi) ）｝，A即为X上的Fuzzy Set。相当于对于X中的每个元素给予了一个0－1的权重。这里的μ特别地被称为membership function。

Fuzzy Set Model

何为图像密度？以下图为例，假设点距离圆心越近，则拥有越高的权重，那么我们可以得出（a）图中点权重之和比上以r为半径的圆面积，大于，（b）图中点权重之后比上以r为半径的圆面积

论文里提到了三个membership function，分别为

• Zadeh’s S-membership function

  
  

• Gamma membership function

  
  

• Gaussian membership function

  
  

这里引入fdm(r,p)函数，用于计算fuzzy density，r为计算的图像区域，p为区域内的点。fdm计算结果越高，则相似度越大。

Threshold Selection Method

对于图像的直方图有明、暗两部分，对于Object（亮部），显然有灰度越小，越暗，权重越低，对于Background则反之，所以如果我们分别选取灰度图中最大、最小作为明暗中心，做出他们的fdm函数，大致如图

交界处即为所需要的threshold。

The Rest

论文剩余部分对左右两个初始区域、以及threshold的适当调整做了更近一步探讨，这里暂时不记录了（主要是没有看大明白。。。），有兴趣读者可以查看作者原论文

实践

Lang：Python
Package：PIL

#  Created by william wei on 17/1/7.
#  Copyright © 2017年. All rights reserved.

import PIL
import math


from PIL import Image

Xmin=0
Xmax=0
hist = []

def membership_function(x):
    b = (Xmin+Xmax)/2
    x = x*1.0
    if x <= Xmin:
        return 0
    if x>Xmin and x<=b:
        return 2*math.pow( (x-Xmin)/(Xmax-Xmin), 2 )
    if x>b and x<Xmax:
        return 1-2*math.pow( (x-Xmax)/(Xmax-Xmin), 2 )
    if x>=Xmax:
        return 1
    return 0

def fdm(x,y,inverse=0):
    global Xmin,Xmax
    result = 0
    num = 0
    for i in xrange(x,y):
        num = num+hist[i]
        if inverse==1:
            result = result+hist[i]*membership_function(Xmax-(i-Xmin))
        else:
            result = result+hist[i]*(membership_function(i))

    return result/num


if __name__ == "__main__":

    im=Image.open('cherry.png')
    im = im.convert('L')
    hist = im.histogram()

    threshold = 0

    for i in xrange(0,256):
        if hist[i] > 0:
            Xmin = i
            break;
        
    for i in xrange(0,256):
        if hist[255-i] > 0:
            Xmax = 255-i
            break;

    for x in xrange(Xmin+1,Xmax):
        left = fdm(Xmin,x,1)
        right = fdm(x,Xmax)

        if left<right and threshold == 0:
            threshold = x
            print threshold


    height,width = im.size
    bkg = im.convert('L')
    obj = im.convert('L')


    for x in xrange(0,height):
        for y in xrange(0,width):
            pixel = im.getpixel((x,y))
            print (threshold)
            if pixel<threshold :
                obj.putpixel((x,y),0)
            else:
                bkg.putpixel((x,y),0)

    bkg.save('bkg.png') 
    obj.save('obj.png')

效果如图：

• 原图

  
  

• Object

  
  

• Background

  
  

再说点

效果说实话，确实不是很好，比Otsu差不少，不过这倒不是作者的问题，应该是把论文剩余部分读完的原因吧，姑且先这样，后面有时间再回来研究一下。