-矩阵在初等变换下的标准形

初等变换

定义：-矩阵的初等变换

1.矩阵的两行(列)互换位置

2.矩阵的某一行(列)乘非零的常数c

3.矩阵的某一行(列)加另一行(列)的倍,为一个多项式

P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第j行(第i列第j列)互换位置所得的初等矩阵

P(i(c))表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵

注：

对一个的-矩阵作一次初等行变换相当于在的左边乘相应的初等矩阵

对作一次初等列变换相当于在的右边乘相应的初等矩阵

初等矩阵都是可逆的,且,,

故初等变换可逆

定义：若-矩阵可经过一系列初等变换化为,则称与等价

等价性质：

1.自反性：每个-矩阵与自身等价

2.对称性：若与等价,则与等价

3.传递性：若与等价,与等价,则与等价

注：矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵,使

引理：设-矩阵的左上角元素,且中至少有一个元素不能被它除尽,则一定可找到一个与等价的矩阵,它的左上角元素也不为零,但次数比的次数低

证明：

定理：任一非零的的-矩阵都等价于如下形式矩阵

其中,是首一的多项式,且

证明：

注：最后化成的这个矩阵称为的标准形

例：用初等变换化-矩阵为标准形

具体步骤：