1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
解：（1）①当△BPQ∽△BAC时， ∵
=
，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴
=
，∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA时， ∵
=
，∴
=
，∴t=
，∴t=1或
时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N， 则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP， ∴
=
，∴
=
，解得：t=；
（3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∵∠ACB=90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF=∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF=
=4，
，
∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立， ∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
2、如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x交于A，B两点．
1
2
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．∴点C的坐标为（﹣2，4）． （2）∵k=﹣，∴直线的解析式为y=﹣x+3．
联立，解得：或．
∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）． 过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q， 过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．
设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a． ∴yP=a，yQ=﹣a+3．∵点P在直线AB下方， ∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a∴S△APB=S△APQ+S△BPQ
=PQ•AM+PQ•BN=PQ•（AM+BN）=（﹣a+3﹣a）•5=5． 整理得：a+a﹣2=0．解得：a1=﹣2，a2=1．
当a=﹣2时，yP=×（﹣2）=2．此时点P的坐标为（﹣2，2）． 当a=1时，yP=×1=．此时点P的坐标为（1，）． ∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）． （3）过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E， 作BF⊥EF，垂足为F，如图2．
2
2
2
2
2
2
2
∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°． ∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t， 则点A、B、D的纵坐标分别为m、n、t． AE=yA﹣yE=m﹣t．BF=yB﹣yF=n﹣t． ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t． ∵
， ∴
2
2
2
2
2
2
2
2
．
=．
化简得：mn+（m+n）t+t+4=0．
∵点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x交点， ∴m、n是方程kx+2k+4=x即x﹣2kx﹣4k﹣8=0两根．
∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t+4=0，
2
即t+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）． ∴定点D的坐标为（2，2）．过点D作x轴的平行线DG， 过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．
∵点C（﹣2，4），点D（2，2），
∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．∵CG⊥DG， ∴DC=
=
=
=2
．
2
2
2
2
过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，
∴DH≤DC．∴DH≤2．∴当DH与DC重合即DC⊥AB时， 点D到直线AB的距离最大，最大值为2． ∴点D到直线AB的最大距离为2．
3、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
3
（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，∴∠DAE=∠APE=90°， ∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，∴∠PAD=∠E，
∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA， ∴△ADP∽△BDA； （2）PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC， 在△BPA和△BFC中，
，∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴
=
=
，
∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E， ∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP， ∴
=
，∴AP=CP•PD，∴AP=（3+AP）•1，
或AP=
（舍去），∴BC=AB=2AP=1+
．
2
2
解得：AP=
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E
（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
2
（1）填空：点A坐标为 （1，4） ；抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）+4 ． （2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
4
解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），
2
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）+4，
2
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）+4=0，解得a=﹣1．
22
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）+4，即y=﹣x+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4， ∴CE=∴
=
=，解得t=
=
=5，当∠QPC=90°时，∵cos∠QPC=；当∠PQC=90°时， ，∴
=，解得t=
．
=
，
∵cos∠QCP=∴当t=
或t=
时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，解得
．故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，∴Q点的横坐标为1+， 将x=1+代入y=﹣（x﹣1）+4中，得y=4﹣∴Q点的纵坐标为4﹣
，∴QF=（4﹣
2
．
，
）﹣（4﹣t）=t﹣
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQ•AG+FQ•DG=FQ（AG+DG）=FQ•AD =×2（t﹣
）=﹣（t﹣2）+1，
22
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
故答案为：（1，4），y=﹣（x﹣1）+4．
5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7
，求线段PC的长．
5
解：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD． 又∵AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB． （2）∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠PCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO，∴∠CAO=∠PCB． ∵CE平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF，∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，∴∠PFC=∠PCF， ∴PC=PF，∴△PCF是等腰三角形． （3）连接AE．∵CE平分∠ACB，∴
=
，∴
．
．
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB， ∴
．又∵tan∠ABC=，∴
，∴
．
设PC=4k，PB=3k，则在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC+OC=OP，∴（4k）+7=（3k+7），
∴k=6 （k=0不合题意，舍去）．∴PC=4k=4×6=24．
2
6、如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．
2
2
2
2
2
2
（1）请直接写出下列各点的坐标：A （0，3） ，B （4，3） ，C （4，﹣1） ，D （0，﹣1） ；
（2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2． ①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
6
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值． 解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）． （2）①设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），由于直线BD经过D（0，﹣1），B（4，3）， ∴
，解得
2
，∴直线BD的解析式为y=x﹣1．（5分）
设点P的坐标为（x，x﹣4x+3），则点H（x，x﹣1），点G（x，3）． 1°当x≥1且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①．
22
∵PH=2GH，∴（x﹣1）﹣（x﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，∴x﹣7x+12=0， 解得x1=3，x2=4．当x2=4时，点P，H，G重合于点B，舍去．∴x=3． ∴此时点P的坐标为（3，0）．
2°当0＜x＜1时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH=2GH不成立． 3°当x＜0时，点G在线段PH上，如图③．
∵PH=2GH，∴（x﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]， 2
∴x﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去）， ∴x=﹣1．此时点P的坐标为（﹣1，8）．
综上所述可知，点P的坐标为（3，0）或（﹣1，8）．
2
②如图④，令x﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，
∴E（1，0），F（3，0），∴EF=2． ∴S△AEF=EF•OA=3．∵△KPH∽△AEF，
2
∴，∴．
∵1＜x＜4，∴当
时，s△KPH的最大值为
．
故答案为：（0，3），（4，3），（4，﹣1），（0，﹣1）．
7
中考压轴题（4）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
8
2、如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x交于A，B两点．
2
（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
9
3、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．
10
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
11
5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若tan∠ABC=，BE=7
，求线段PC的长．
12
6、如图1，矩形ABCD的边AD在y轴上，抛物线y=x﹣4x+3经过点A、点B，与x轴交于点E、点F，且其顶点M在CD上．
2
（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ； （2）若点P是抛物线上一动点（点P不与点A、点B重合），过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，如图2． ①当线段PH=2GH时，求点P的坐标；
②当点P在直线BD下方时，点K在直线BD上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH面积的最大值．
13
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